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变分原理

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  把一个物理学问题(或其他学科的问题)用变分法化为求泛函极值(或驻值)的问题,后者就称为该物理问题 (或其他学科的问题)的变分原理。如果建立了一个新的变分原理,它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件,就称为该问题的广义变分原理;如果解除了所有的约束条件,就称为无条件广义变分原理,或称为完全的广义变分原理。1964年,钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子(Lagrange multiplier)把有约束条件的变分原理化为较少(或没有)约束条件的变分原理的方法。日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用,如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。在当代变分原理已成为有限元法的理论基础,而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中,通常很少能求出精确的解析解,因此大多采用近似计算方法。近似计算方法主要有:李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。
变分定义
  变分法是讨论泛函极值的工具,所谓泛函,是指函数的定义域是一个无限维的空间,即曲线空间。在欧式平面中,曲线的长的函数是泛函的一个重要的例子。一般来说,泛函就是曲面空间到实数集的任意一个映射。函数的微分定义式为f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(x);那么泛函的微分有类似的定义:Φ(γ+h)-Φ(γ)=F+R,此处F为h的函数,R=o(h^2).注意,这里和微分不同的是h不一定是无穷小量。

变分定理
  泛函是可微的,其微分(变分)是 参考文献:   

      1)钱伟长,《变分法及有限元(上册)》,科学出版社, 1980年8月第一版 

      2)Shen Xiaoming(沈孝明),Mixed Compatible Element and Mixed Hybrid Incompatible Element Variational Methods in Dynamic of Viscous Barotropic Fluids,Proceedings of the second international confernce on fluid mechanics(Bejing,1993):511-516;   APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS(English Edition),Vol.15,No.6,JUN.1994:561-569   

      3)沈孝明,粘性流动的最大功率消耗原理不成立——论自然条件不参加变分兼论变分的定义和运算法则,北京大学学报,1990,26(3):291-293  

   4)Shen Xiaoming(沈孝明),Deformation Power and Complementary Power and so Forth of Compressible Viscous Fluid Floows and Their Applications in Variational Principles,《Some new trends on fluid mechanics and theoretical physics》,Chair man of Editiorial commitee:C.C.Lin(林家翘),Peking Univercity Press,Frist Edition 1993:305-307  

   5)沈孝明,粘性流体动力学有限元变分原理,上海力学,1997,18(3):201-206   6)沈孝明,非线性弹性体大变形问题的新广义变分原理,上海力学,1988,9(4):66-72

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