斐波那契数列

斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

定义

斐波那契数列通项公式

斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 　　斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。  

通项公式

（见图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。） 　　注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2）（n>=3,n∈N*）
通项公式的推导

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。那么这句话可以写成如下形式： 　　F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2）， 　　显然这是一个线性递推数列。 　　方法一：利用特征方程（线性代数解法） 　　线性递推数列的特征方程为： 　　X^2=X+1 　　解得 　　X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 　　∵F(1)=F(2)=1。 　　∴C1*X1 + C2*X2。 　　C1*X1^2 + C2*X2^2。 　　解得C1=√5/5，C2=-√5/5。 　　∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）。

方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 　　设常数r，s。 　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　　则r+s=1， -rs=1。 　　n≥3时，有。 　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 　　…… 　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。 　　联立以上n-2个式子，得： 　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。 　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。 　　上式可化简得： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 　　那么： 　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。 　　…… 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1）。 　　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。 　　（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。 　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。 　　=(s^n - r^n)/(s-r）。 　　r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 　　则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 　　方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。 　　解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 　　得α+β=1。 　　αβ=-1。 　　构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 　　所以。 　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 　　由式1，式2，可得。 　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

与黄金分割的关系

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割0.618. 　　1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…... 　　越到后面，这些比值越接近黄金比. 　　证明： 　　a[n+2]=a[n+1]+a[n]。 　　两边同时除以a[n+1]得到： 　　a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。 　　若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x， 　　则lim[n->；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；∞](a[n+1]/a[n])=x。 所以x=1+1/x。 　　即x²=x+1。 　　所以极限是黄金分割比..

奇妙的属性

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多）,黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等。 　　随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 　　从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）因为：经计算可得：an^2-aa=(-1)^(n-1)

多了的一在哪？

如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积 　　确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 　　

斐波那契数列（f(n），f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质： 　　

1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。 　　

2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n）。

3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。 　　

4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n）·f(n+1）。 　　

5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]-1。 　　

6.f(m+n-1)=f(m-1）·f(n-1)+f(m）·f(n）。 　　

利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。 　　

怎样实现呢？伪代码描述一下 　　

7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1）·f(n+1）。 　　

8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。 　　

9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2）。 　　

10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1] 斐波那契数列

11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2. 　　

12.f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)