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斐波那契数列

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斐波纳契数列(Fibonacci Sequence),又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F0=0,F1=1,Fn=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊,专门刊载这方面的研究成果。

定义

斐波那契数列通项公式斐波那契数列通项公式

斐波那契数列的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年,籍贯大概是比萨)。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年,他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。   斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……   这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。  

通项公式

(见图)(又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。)   注:此时a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3,n∈N*)
通项公式的推导

斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……   如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式:   F(0) = 0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2),   显然这是一个线性递推数列。   方法一:利用特征方程(线性代数解法)   线性递推数列的特征方程为:   X^2=X+1   解得   X1=(1+√5)/2,,X2=(1-√5)/2。   则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。   ∵F(1)=F(2)=1。   ∴C1*X1 + C2*X2。   C1*X1^2 + C2*X2^2。   解得C1=√5/5,C2=-√5/5。   ∴F(n)=(√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示根号5)。

方法二:待定系数法构造等比数列1(初等代数解法)   设常数r,s。   使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。   则r+s=1, -rs=1。   n≥3时,有。   F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。   F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。   F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。   ……   F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。   联立以上n-2个式子,得:   F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。   ∵s=1-r,F(1)=F(2)=1。   上式可化简得:   F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。   那么:   F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。   = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)。   = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)。   ……   = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)。   = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)。   (这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和)。   =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。   =(s^n - r^n)/(s-r)。   r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2。   则F(n)=(√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。   方法三:待定系数法构造等比数列2(初等代数解法)   已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式。   解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。   得α+β=1。   αβ=-1。   构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。   所以。   an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。   an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。   由式1,式2,可得。   an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。   an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。   将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

与黄金分割的关系

有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时,后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割0.618.   1÷1=1,2÷1=2,3÷2=1.5,5÷3=1.666...,8÷5=1.6,…………,89÷55=1.6181818…,…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...   越到后面,这些比值越接近黄金比.   证明:   a[n+2]=a[n+1]+a[n]。   两边同时除以a[n+1]得到:   a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。   若a[n+1]/a[n]的极限存在,设其极限为x,   则lim[n->;∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->;∞](a[n+1]/a[n])=x。 所以x=1+1/x。   即x²=x+1。   所以极限是黄金分割比..

奇妙的属性

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数(典型的有向日葵花瓣),蜂巢,蜻蜓翅膀,超越数e(可以推出更多),黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等。   随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……   从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是指数列的数字本身的奇偶,比如第四项3是奇数,但它是偶数项,第五项5是奇数,它是奇数项,如果认为数字3和5都是奇数项,那就误解题意,怎么都说不通)因为:经计算可得:an^2-aa=(-1)^(n-1)

多了的一在哪?多了的一在哪?

如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64=65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积   确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到。

斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。   

斐波那契数列(f(n),f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2……)的其他性质:   

1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。   

2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。

3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。   

4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。   

5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]-1。   

6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。   

利用这一点,可以用程序编出时间复杂度仅为O(log n)的程序。   

怎样实现呢?伪代码描述一下   

7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)。   

8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。   

9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。   

10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1] 斐波那契数列

11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.   

12.f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)

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