余弦定理

余弦定理

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决两类问题： 　　

第一类是已知三角形两边及夹角，求第三边； 　　

第二类是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质—— 　　

a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA 　　

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB 　　

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC 　　

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b) 　　

cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c) 　　

cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c) 　　

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到） 　　

第一余弦定理（任意三角形射影定理） 　　

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，

则有 　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

平面向量证法 　　∵

如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

平行向量证发

∴c·c=(a+b)·(a+b) 　　

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 　　（以上粗体字符表示向量） 　　

又∵cos(π-θ)=-Cosθ 　　∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 　　

再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC 　　即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 　　

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中 　　

做AD⊥BC. 　　

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 　　

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 　　

根据勾股定理可得： 　　

AC^2=AD^2+DC^2 　　

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 　　

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 　　

b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2 　　

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB 　　

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac