拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。 　　

如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得 　　

拉格朗日中值定理的几何意义

f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a) 拉格朗日中值定理的几何意义 。 　　

f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件 　　

理解——这个定理说的是什么 　　

1.在满足定理条件的前提下，函数f（x）上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（f（a）和f（b）点的连线平行）。f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a），等号后为x=a，b两点的连线斜率，等号前为f（x）上一点的导数的值，也就是f（x）上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。 　　

2.我们将f（x）函数求导，得到f'(x)，众所周知f'(x)函数纪录的其实就是【f（x）函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化……。函数由f（a）变化到f（b）的过程，其实就是f'(x)函数在（a，b）区间中纪录的变化状态的依次累加，没错就是对f'(x)函数在（a，b）区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过（即f'(ξ)），因为f（x）连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量【f（b）-f（a）】。即所谓的必有一ξ∈(a,b)，使f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【a，b区间内f（x）函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式。

其它形式

令f(x)为y，则该公式可写成 　　

△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1) 　　

上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式， 因此本定理也叫有限增量定理。 　　

f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))（b-a）,0<θ<1. 　　f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h,0<θ<1.

定理内容

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件： 　　

(1)在[a,b]连续 　　

(2)在(a,b)可导 　　

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) af(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a

拉格朗日中值定理的几何意义

几何意义

若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

推论

如果函数在区间Q上的导数恒为零，那么函数在区间Q上是一个常数。 　　

证明：f(b)-f(a)=f'(ξ)*(b-a) ξ∈[a,b] 　　

由于已知f'(ξ)=0，f(b)-f(a)=0，即f(b)=f(a) 　　

这就是说，在区间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内是一个常数。