随机变量

随机变量（random variable）表示随机现象（在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点）。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例。

概念

案例

　　一个随机试验的可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间Ω 。 随机变量X是定义在基本空间Ω上的取值为实数的函数，即基本空间Ω中每一个点，也就是每个基本事件都有实轴上的点与之对应。例如，随机投掷一枚硬币 ，可能的结果有正面朝上 ，反面朝上两种 ，若定义X为投掷一枚硬币时朝上的面 ， 则X为一随机变量，当正面朝上时，X取值1；当反面朝上时，X取值0。又如，掷一颗骰子 ，它的所有可能结果是出现1点、2点、3点、4点、5点和6点 ，若定义X为掷一颗骰子时出现的点数，则X为一随机变量，出现1，2，3，4，5，6点时X分别取值1，2，3，4，5，6。

概率

　　要全面了解一个随机变量，不但要知道它取哪些值，而且要知道它取这些值的规律，即要掌握它的概率分布。概率分布可以由分布函数刻画。若知道一个随机变量的分布函数，则它取任何值和它落入某个数值区间内的概率都可以求出。

　　有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如 ，子弹着点的位置需要两个坐标才能确定，它是一个二维随机变量。类似地，需要n个随机变量来描述的随机现象中，这n个随机变量组成n维随机向量 。描述随机向量的取值规律 ，用联合分布函数。随机向量中每个随机变量的分布函数，称为边缘分布函数。若联合分布函数等于边缘分布函数的乘积 ，则称这些单个随机变量之间是相互独立的。独立性是概率论所独有的一个重要概念。

性质

　　不确定性和随机性 随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种 不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。

随机变量

基本类型

　　简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。

　　按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：①离散型随机变量，即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。②连续型随机变量，即在一定区间内变量取值有无限个,或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。

详细分析

随机试验结果表示方法

　　随机试验结果的量的表示。例如掷一颗骰子出现的点数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，随机抽查的一个人的身高，悬浮在液体中的微粒沿某一方向的位移，等等，都是随机变量的实例。

　　一个随机试验的可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间 Ω(见概率)。随机变量x是定义于Ω上的函数，即对每一基本事件ω ∈Ω，有一数值x(ω)与之对应。以掷一颗骰子的随机试验为例，它的所有可能结果见，共6个,分别记作ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,这时，Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},而出现的点数这个随机变量x，就是Ω上的函数x(ωk)=k，k=1,2,…,6。又如设Ω={ω1,ω2,…,ωn}是要进行抽查的n个人的全体,那么随意抽查其中一人的身高和体重,就构成两个随机变量x和Y,它们分别是Ω上的函数：x(ωk)=“ωk的身高”,Y(ωk)=“ωk的体重”,k=1,2,…,n。一般说来,一个随机变量所取的值可以是离散的（如掷一颗骰子的点数只取1到6的整数，电话台收到的呼叫次数只取非负整数），也可以充满一个数值区间，或整个实数轴（如液体中悬浮的微粒沿某一方向的位移）。